Question

12．已知f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$．
（1）若f（x）＞k的解集為（-∞，-6）∪（-1，+∞），求k的值；
（2）若對任意的x＞0，f（x）≤t恒成立，求實數t的范圍．

Answer 1

分析 （1）將不等式f（x）＞k變形為關于x的二次不等式，結合三個二次關系可知與之對應的方程的根為-3，-2，由此可得到k的值；
（2）中將不等式f（x）≤t恒成立轉化為求函數的最大值，求解時可借助于基本不等式性質求解

解答 （1）$-\frac{2}{5}$（2）$A（-c，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c）$
解：（1）f（x）＞k?kx²-02x+6k＜0，由已知其解集為{x|x＜-6或x＞-1}，
得x₁=-6，x₂=-1是方程kx²-2x+6k=0的兩根，
所以-6-1=$\frac{2}{k}$，即k=-$\frac{2}{7}$．
（2）∵x＞0，f（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+6}}$=$\frac{2}{{x+\frac{6}{x}}}$≤$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$（當且僅當x=$\sqrt{6}$時取“=”），
由已知f（x）≤t對任意x＞0恒成立，故t≥f（x）_max=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
所以，實數t的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查三個二次之間的關系，考查基本不等式的應用，考查方程思想與等價轉化思想的綜合運用，屬于中檔題．