Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$．
（I）設$\overrightarrow m=（{sinA，1}），\overrightarrow n=（{8cosB，cos2A}）$，判斷$\overrightarrow m•\overrightarrow n$最大時△ABC的形狀．
（II）若$b=\sqrt{3}$，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據向量的運算求出$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，利用三角函數的有界性求出最大值時A是角度．即可判斷．
（II）通過正弦定理轉化，利用三角函數的有界性△ABC周長的取值范圍．

解答 解：由題意，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}=\frac{b-c}{a-c}$，$\frac{a}{b+c}=\frac{b-c}{a-c}$，
a²+c²-b²=ac，
由余弦定理，可得$cosB=\frac{1}{2}$，則B=$\frac{π}{3}$．
（I）$\overrightarrow m•\overrightarrow n=8sinAcosB+cos2A=-2{sin^2}A+4sinA+1=-2{（sinA-1）^2}+3$
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n$最大時，則sinA=1，
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$A=\frac{π}{2}$，
故△ABC為直角三角形．
（II）由$b=\sqrt{3}$，
根據正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，
周長$l=a+b+c=\sqrt{3}+2sinA+2sinC$=$\sqrt{3}+2\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$
∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1）$
（∵$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$A=\frac{π}{3}$時，a=c，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$不成立），
故得△ABC周長$l∈（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}）$．

點評 本題考查了正弦定理、三角函數的單調性與求值、銳角三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．