Question

11．棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標，某農科所的專家在土壤環境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取20根棉花纖維進行統計，結果如下表：（記纖維長度不低于300mm的為“長纖維”，其余為“短纖維”）

纖維長度	（0，100）	[100，200）	[200，300）	[300，400）	[400，500]
甲地（根數）	3	4	4	5	4
乙地（根數）	1	1	2	10	6

（1）由以上統計數據，填寫下面2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環境有關系”．

	甲地	乙地	總計
長纖維	9	16	25
短纖維	11	4	15
總計	20	20	40

附：（1）${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
（2）臨界值表；

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）現從上述40根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢
測，在這8根纖維中，記乙地“短
纖維”的根數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （I）利用k²的計算公式即可得出．
（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數為$\frac{15}{40}×8=3$，X的可能取值為：0，1，2，3，利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{11}^{3-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{15}^{3}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據已知數據得到如下2×2列聯表：

	甲地	乙地	總計
長纖維	9	16	25
短纖維	11	4	15
總計	20	20	40

根據2×2列聯表中的數據，可得${K^2}=\frac{{40{{（9×4-16×11）}^2}}}{25×15×20×20}≈5.227＞5.024$
所以，在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環境有關系”．
（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數為$\frac{15}{40}×8=3$，X的可能取值為：0，1，2，3，$P（X=0）=\frac{{C_{11}^3}}{{C_{15}^3}}=\frac{33}{91}$，$P（X=1）=\frac{{C_{11}^2C_4^1}}{{C_{15}^3}}=\frac{44}{91}$，$P（X=2）=\frac{{C_{11}^1C_4^2}}{{C_{15}^3}}=\frac{66}{455}$，$P（X=3）=\frac{C_4^3}{{C_{15}^3}}=\frac{4}{455}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{65}{455}$	$\frac{4}{455}$

∴$E（X）=0×\frac{33}{91}+1×\frac{44}{91}+2×\frac{65}{455}+3×\frac{4}{455}=\frac{364}{455}=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗原理、超幾何分布列的概率計算公式與數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．