Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的外接圓半徑為R=$\sqrt{2}$，且tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，則角B和邊b的值分別為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$，$\sqrt{2}$
• B． $\frac{π}{4}$，2
• C． $\frac{π}{3}$，$\sqrt{6}$
• D． $\frac{3π}{4}$，2

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理可得$\frac{sinA}{cosBcosC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，結合sinA≠0，cosC≠0，可求cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得B的值，進而由正弦定理可得b的值．

解答 解：∵tanB+tanC=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，
∴$\frac{sinB}{cosB}+\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinBcosC+sinCcosB}{cosBcosC}$=$\frac{sin（B+C）}{cosBcosC}$=$\frac{sinA}{cosBcosC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{cosC}$，
∵sinA≠0，cosC≠0，
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$．
又∵△ABC的外接圓半徑為R=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}=2R$，可得：$\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2×$\sqrt{2}$，解得：b=2．
故選：B．

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．