Question

8．求函數y=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）的單調區間及值域．

Answer 1

分析 根據復合函數的單調性“同增異減”可得單調區間，利用對數函數的性質和二次函數的性質可得函數y的值域．

解答 解：函數y=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）
∴x-x²＞0，解得：0＜x＜1，
所以函數y=log_a（x-x²）的定義域是（0，1）．
∴0＜x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
所以，當0＜a＜1時，log_a（x-x²）≥log_a$\frac{1}{4}$，函數y=log_a（x-x²）的值域為[log_a$\frac{1}{4}$，+∞），
當a＞1時，log_a（x-x²）≤log_a$\frac{1}{4}$，函數y=log_a（x-x²）的值域為（-∞，log_a$\frac{1}{4}$]，
當0＜a＜1時，函數y=log_a（x-x²）在（0，$\frac{1}{2}$]上是減函數，在[$\frac{1}{2}$，1）是增函數．
當a＞1時，函數y=log_a（x-x²）在（0，$\frac{1}{2}$]上是增函數，在[$\frac{1}{2}$，1）是減函數．

點評 本題考查了對數的運算和對底數的討論，考查了復合函數的單調性的判斷．注意定義域的范圍．