Question

3．函數f（x）=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|是（　　）

• A． 最小正周期為π的奇函數
• B． 最小正周期為π的偶函數
• C． 最小正周期為$\frac{π}{2}$的奇函數
• D． 最小正周期為$\frac{π}{2}$的偶函數

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和周期性的定義分別進行證明即可．

解答 解：f（-x）=|sin（-x）+cos（-x）|+|sin（-x）-cos（-x）|=|-sinx+cosx|+|-sinx-cosx|
=|six+cosx|+|sinx-cosx|=f（x），
則函數f（x）是偶函數，
∵f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）+cos（x+$\frac{π}{2}$）|+|sin（x+$\frac{π}{2}$）-cos（x+$\frac{π}{2}$）|
=|cosx-sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|=f（x），
∴函數f（x）的周期是$\frac{π}{2}$，
故選：D

點評 本題主要考查三角函數的奇偶性和周期性的求解，利用函數奇偶性和周期性的定義是解決本題的關鍵．