Question

13．已知點F₁為圓（x+1）²+y²=16的圓心，N為圓F₁上一動點，點M，P分別是線段F₁N，F₂N上的點，且滿足$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=0，$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}P}$．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F₂的直線l（與x軸不重合）與軌跡E交于A，C兩點，線段AC的中點為G，連接OG并延長交軌跡E于B點（O為坐標原點），求四邊形OABC的面積S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定動點M的軌跡是以F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點的橢圓，即可求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設直線AC的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，表示出四邊形OABC的面積，即可求出四邊形OABC的面積S的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，MP垂直平分F₂N，
∴|MF₁|+|MF₂|=4
所以動點M的軌跡是以F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點的橢圓，…..（3分）
且長軸長為2a=4，焦距2c=2，所以a=2，c=1，b²=3，
曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），G（x₀，y₀）．
設直線AC的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
由弦長公式可得|AC|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
又y₀=-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，
∴G（$\frac{4}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$），
直線OG的方程為y=-$\frac{3m}{4}$x，代入橢圓方程得${x}^{2}=\frac{16}{4+3{m}^{2}}$，
∴B（$\frac{4}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，-$\frac{3m}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$），
B到直線AC的距離d₁=$\frac{\sqrt{4+3{m}^{2}}-1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
O到直線AC的距離d₂=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）=6$\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{3（4+3{m}^{2}）}}$≥3，m=0時取得最小值3．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查面積的計算，屬于中檔題．