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10.已知函數(shù)f(x)=|x2-5x+4|,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為$[1,\frac{5}{2}]$,[4,+∞);若方程f(x)=mx有三個(gè)不相等的實(shí)根,則m=1,且三個(gè)實(shí)根的和是8.

分析 ①由|x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1.可得f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(x-\frac{5}{2})^{2}-\frac{1}{4},x≥4或x≤1}\\{-(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{1}{4},1<x<4}\end{array}\right.$,可得f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
②方程f(x)=mx有三個(gè)不相等的實(shí)根,則直線y=mx與二次函數(shù)y=-x2+5x-4(x∈(1,4))相切.可得x2+(m-5)x+4=0,△=0,m>0,結(jié)合圖象解得m=1(m=9舍去).由m=1,解得x.聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$,x≥4或x≤1,化為x2-6x+4=0,可得x1+x2即可得出.

解答 解:①由|x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1.
∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+4,x≥4或x≤1}\\{-{x}^{2}+5x-4,1<x<4}\end{array}\right.$,配方可得f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(x-\frac{5}{2})^{2}-\frac{1}{4},x≥4或x≤1}\\{-(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{1}{4},1<x<4}\end{array}\right.$,
可得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:$[1,\frac{5}{2}]$,[4,+∞).
②方程f(x)=mx有三個(gè)不相等的實(shí)根,
則直線y=mx與二次函數(shù)y=-x2+5x-4(x∈(1,4))相切.
∴x2+(m-5)x+4=0,△=(m-5)2-16=0,m>0,結(jié)合圖象解得m=1(m=9舍去).
由m=1,可得上述方程為:x2-4x+4=0,解得x=2.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$,x≥4或x≤1,化為x2-6x+4=0,解得x1+x2=6,
∴三個(gè)實(shí)根的和=2+6=8.
故答案分別為:$[1,\frac{5}{2}]$,[4,+∞);2;8.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、方程的解法,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
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19.原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y=2對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)(2,2).

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A.11001(2)B.10101(2)C.10011(2)D.11100(2)

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