Question

5．已知f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，
①若ω=1，函數f（x）的對稱中心是$（kπ-\frac{π}{4}，0）（k∈z）$；
②若函數f（x）在區間（-ω，ω）內單調遞增，且其圖象關于直線x=ω對稱，則ω的值為$\frac{\sqrt{π}}{2}$．

Answer 1

分析 ①由兩角和的正弦函數公式化簡解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），結合正弦函數圖象解答．
②由兩角和的正弦函數公式化簡解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數f（x）的單調遞增區間，結合已知可得：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$②，k∈Z，從而解得k=0，又由ωx+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函數f（x）的對稱軸為：x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$，k∈Z，結合已知可得：ω²=$\frac{π}{4}$，從而可求ω的值．

解答 解：①若ω=1，f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
則x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
故x=kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z），
所以函數f（x）的對稱中心是$（kπ-\frac{π}{4}，0）（k∈z）$．
故答案是：$（kπ-\frac{π}{4}，0）（k∈z）$；
②∵f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∵函數f（x）在區間（-ω，ω）內單調遞增，ω＞0
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數f（x）的單調遞增區間為：[$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$]，k∈Z，
∴可得：：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$②，k∈Z，
∴解得：0＜ω²≤$\frac{3π}{4}$-2kπ且0＜ω²≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
解得：-$\frac{1}{8}$＜k＜$\frac{3}{8}$，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函數f（x）的對稱軸為：x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$，k∈Z，
∴由函數y=f（x）的圖象關于直線x=ω對稱，可得：ω²=$\frac{π}{4}$，可解得：ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{π}}{2}$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數的圖象和性質，正確確定k的值是解題的關鍵，屬于中檔題．