Question

1．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x的圖象向右平移m（m＞0）個單位，所得函數y=g（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，當m取最小值時，f（x）-g（x）的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先通過三角函數的恒等變換，變換成正弦型函數，進一步利用平移變換，最后根據正弦型函數的對稱軸求得結果．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
y=g（x）=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$）．
由于函數y=g（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，
所以2×$\frac{π}{2}$-2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
所以m=-$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
取k=0時，得最小的正數m=$\frac{π}{3}$．此時，g（x）=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-2cos2x．
所以f（x）-g（x）=$\sqrt{3}$sin2x+3cos2x=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
所以f（x）-g（x）的最大值是2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查的知識要點：三角函數的恒等變換，函數圖象的平移變換問題，及對稱軸問題，屬于基礎題型．