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20.若函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2-3x+1在(a,2a+7)上有最小值,則實數(shù)a的取值范圍為(-3,1).

分析 f′(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1),分別令f′(x)>0,令f′(x)<0,得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,要使函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2-3x+1在(a,2a+7)上有最小值,只需$\left\{\begin{array}{l}{a<1<2a+7}\\{f(a)≥f(1)}\end{array}\right.$,解出即可得出.

解答 解:f′(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1),
令f′(x)>0,解得x<-3或x>1,令f′(x)<0,解得-3<x<1,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-3),(1,+∞),減區(qū)間為(-3,1).
所以要使函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+x2-3x+1在(a,2a+7)上有最小值,
只需$\left\{\begin{array}{l}{a<1<2a+7}\\{f(a)≥f(1)}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{-3<a<1}\\{a≥-5}\end{array}\right.$,解得-3<a<1,
故答案為:(-3,1).

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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