Question

13．已知可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對(duì)任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+2，且f（x）-2019為奇函數(shù)，則不等式f（x）-2017e^x＜2的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． $（-∞，\frac{1}{e^2}）$
• D． $（\frac{1}{e^2}，+∞）$

Answer 1

分析 令2017g（x）=$\frac{f（x）-2}{{e}^{x}}$，（x∈R），從而求導(dǎo)g′（x）＜0，從而可判斷y=g（x）單調(diào)遞減，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（0）=2019，從而可得到不等式的解集．

解答 解：設(shè)2017g（x）=$\frac{f（x）-2}{{e}^{x}}$，由f（x）＞f′（x）+2，
得：g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）+2}{{e}^{x}}$＜0，
故函數(shù)g（x）在R遞減，
由f（x）-2019為奇函數(shù)，得f（0）=2019，
∴2017g（0）=f（0）-2=2017，即g（0）=1，
∵不等式f（x）-2017e^x＜2，
∴$\frac{f（x）-2}{{e}^{x}}$＜2017，即2017g（x）＜2017g（0），
即有g(shù)（x）＜g（0），
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得：x＞0，
故不等式f（x）-2017e^x＜2的解集是（0，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．