Question

8．如圖，已知反比例函數的圖象與一次函數y=kx+1的圖象相交于P、Q兩點，直線y=kx+1分別與x軸，y軸交于A、B兩點，∠BOP=45°，tan∠BAO=$\frac{1}{2}$．
（1）一次函數的解析式和反比例函數的解析式；
（2）求△POQ的面積．

Answer 1

分析 （1）作PM⊥x軸于點M．則∠POM=90°-∠BOP=45°，△OPM是等腰直角三角形．首先求得B的坐標，然后根據三角函數的定義求得OB的長，在直角△PAM中利用三角函數求得P的坐標，然后利用待定系數法求得一次函數以及反比例函數的解析式；
（2）解兩個函數解析式組成的方程組求得Q的坐標，然后利用三角形面積公式求得三角形的面積．

解答 解：（1）作PM⊥x軸于點M．則∠POM=90°-∠BOP=45°，△OPM是等腰直角三角形．
在y=kx+1中令x=0，則y=1，即B的坐標是（0，1），OB=1．
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=2．
即設PM=m，則OM=PM=x．
在直角△APM中，AM=2+x，tan∠PAM=$\frac{x}{x+2}$=$\frac{1}{2}$，
解得x=2，
則P的坐標是（2，2）．
把（2，2）代入y=kx+1得2=2k+1，解得k=$\frac{1}{2}$，則一次函數的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+1．
設反比例函數的解析式是y=$\frac{n}{x}$，把（2，2）代入得n=4，則反比例函數的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
（2）根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
則Q的坐標是（-4，-1）．
則S_△POQ=$\frac{1}{2}$×1×（2+4）=3．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式，以及三角函數的定義，求得P的坐標是解決本題的關鍵．