Question

19．如圖，在坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2的圖象過C點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
（3）點P是x軸上的一點，是否存在一點P使△ABP是等腰三角形？若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，拋物線的解析式中有一個字母系數，需要找一個拋物線上的點代入求解，因此只要求點C的坐標即可；證明△AOB≌△CDA，則CD=OA=1，AD=OB=2，可得點C（3，1），代入拋物線解析式即可；
（2）如圖1，先求△ABC的面積，分別求BC和AC的解析式，表示EF的長，根據面積一半列等式，可求得F的橫坐標，即直線l的解析式；
（3）如圖2，分別以三邊為腰分情況進行討論，依次求P的坐標即可．

解答 解：（1）如圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，
則∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠AOB=90°
∵∠OBA+∠OAB=90°，
∵∠BAC=90°
∴∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
在△AOB與△CDA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠ACD}\\{AB=AC}\\{∠OBA=∠CAD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2．
∴OD=OA+AD=3．
∴C（3，1）．
∵點C（3，1）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2上，
∴1=$\frac{1}{2}$×9+3b-2，解得：b=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2．
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（0，2），C（3，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2，
同理求得直線AC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
如圖1所示，設直線l與BC、AC分別交于點E、F，
則EF=$（-\frac{1}{3}x+2）-（\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}x$，
在△CEF中，FE邊上的高h=OD-x=3-x，
由題意得：S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
即：$\frac{1}{2}$ EF•h=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}-\frac{5}{6}x$）$•（3-x）=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}$，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-$\sqrt{3}$或x=3+$\sqrt{3}$（不合題意，舍去），
∴當直線l解析式為x=3-$\sqrt{3}$時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分；
（3）如圖2，分四種情況：
①當AB=BP₁時，OP₁=OA=1，
∴P₁（-1，0）；
②當AP₂=AB時，OP₂=OA+AP₂=$\sqrt{5}$+1，
∴P₂（$\sqrt{5}$+1，0）；
③當AB=AP₃時，OP₃=AP₃-OA=$\sqrt{5}$-1，
∴P₃（1-$\sqrt{5}$，0）；
④當AP₄=BP₄時，過P₄作P₄D⊥AB于D，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠ADP₄=∠AOB=90°，
∴∠DAO+∠AP₄D=90°，
∠DAO+∠ABO=90°，
∴∠AP₄D=∠ABO，
tan∠AP₄D=tan∠ABO=$\frac{AD}{{P}_{4}D}=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴P₄D=2AD=$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：AP₄=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴OP₄=AP₄-OA=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴P₄（-$\frac{3}{2}$，0）；
綜上所述，P點的坐標為（-1，0）或（$\sqrt{5}$+1，0）或（1-$\sqrt{5}$，0）或（-$\frac{3}{2}$，0）．

點評 本題是二次函數的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式、等腰直角三角形的性質、三角形全等的性質和判定、同角的三角函數、勾股定理等知識，注意第三問中利用數形結合的思想，分類討論，屬于常考查題型，本題還利用解析式表示線段的長，這在函數的綜合題中經常運用，要熟練掌握．