Question

7．已知，x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個根，
（1）求$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值；
（2）求一個新的一元二次方程，使它的兩根分別是原方程兩根的相反數．

Answer 1

分析 （1）根據根與系數的關系即可得出x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3，將$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$變形為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，代入數據即可得出結論；
（2）由x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3可得出（-x₁）+（-x₂）=-（x₁+x₂）=-2、（-x₁）•（-x₂）=x₁•x₂=-3，結合根與系數的關系即可得出當a為1時，以-x₁和-x₂為兩根的一元二次方程，此題得解．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{10}{3}$．
（2）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴（-x₁）+（-x₂）=-（x₁+x₂）=-2，（-x₁）•（-x₂）=x₁•x₂=-3，
∴當a=1時，-x₁和-x₂是方程x²+2x-3=0的解，
即新方程為x²+2x-3=0．

點評 本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）根據根與系數的關系找出x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3；（2）利用根與系數的關系找出當a=1時的一元二次方程，