Question

10．如圖，以等邊△ABC的邊BC為直徑畫半圓，分別交邊AB、AC于點E，D，DF是半圓的切線，交AB于點F，若AF的長為1，則△FBC的面積為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OD，由DF為圓的切線，利用切線的性質得到OD垂直于DF，根據三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到三條邊相等，三內角相等，都為60°，由OD=OC，得到三角形OCD為等邊三角形，進而得到OD平行與AB，由O為BC的中點，得到D為AC的中點，在直角三角形ADF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，進而求出AC的長，即為AB的長，由AB-AF求出FB的長，在直角三角形FBG中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出BG的長，再利用三角函數即可求出FG的長．最后用三角形的面積公式即可．

解答 解：如圖，連接OD，過點F作FG⊥BC，
∵DF為圓O的切線，
∴OD⊥DF，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD為等邊三角形，
∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=1，
∴AD=2AF=2，
∴AC=4，即：BC=AC=4，
∴FB=AB-AF=4-1=3，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，
∴cos∠BFG=$\frac{FG}{BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．
∴S△FBC=$\frac{1}{2}$BC×FG=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的性質，等邊三角形的性質，含30°直角三角形的性質，銳角三角函數，三角形的面積，三角形的中位線，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．