Question

9．我們知道：分式和分數有著很多的相似點．如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質；類比分數的運算法則，我們得到了分式的運算法則，等等．小學里，把分子比分母小的分數叫做真分數．類似地，我們把分子整式的次數小于分母整式的次數的分式稱為真分式；反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，
如：$\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=$\frac{x-1}{x-1}$+$\frac{2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$；
$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2x+2-5}{x+1}$=$\frac{2x+2}{x+1}$+$\frac{-5}{x+1}$=2+（-$\frac{5}{x-1}$）．
（1）下列分式中，屬于真分式的是：③（填序號）；
①$\frac{a-2}{a+1}$　　     ②$\frac{{x}^{2}}{x+1}$        ③$\frac{2b}{{b}^{2}+3}$　    　④$\frac{{a}^{2}+3}{{a}^{2}-1}$
（2）將假分式$\frac{4a+3}{2a-1}$化成整式與真分式的和的形式為：$\frac{4a+3}{2a-1}$=2+$\frac{5}{2a-1}$，若假分式$\frac{4a+3}{2a-1}$的值為正整數，則整數a的值為-2、1或3；
（3）將假分式$\frac{{a}^{2}+3}{a-1}$ 化成整式與真分式的和的形式：$\frac{{a}^{2}+3}{a-1}$=a+1+$\frac{4}{a-1}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以判斷題目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根據題意可以將題目中的式子寫出整式與真分式的和的形式；
（3）根據題意可以將題目中的式子化簡變為整式與真分式的和的形式．

解答 解：（1）根據題意可得，
$\frac{a-2}{a+1}$、$\frac{{x}^{2}}{x+1}$、$\frac{{a}^{2}+3}{{a}^{2}-1}$都是假分式，$\frac{2b}{{b}^{2}+3}$是真分式，
故答案為：③；
（2）由題意可得，
$\frac{4a+3}{2a-1}$=$\frac{4a-2+5}{2a-1}=2+\frac{5}{2a-1}$，
若假分式$\frac{4a+3}{2a-1}$的值為正整數，
則$\frac{5}{2a-1}=-1$或2a-1=1或2a-1=5，
解得，a=-2或a=1或a=3，
故答案為：2、$\frac{5}{2a-1}$，-2、1或3；
（3）$\frac{{a}^{2}+3}{a-1}$=$\frac{{a}^{2}-1+4}{a-1}=\frac{{a}^{2}-1}{a-1}+\frac{4}{a-1}=a+1+\frac{4}{a-1}$，
故答案為：a+1+$\frac{4}{a-1}$．

點評 本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規定解答問題．