Question

10．觀察發現：直線l在繞點O旋轉的過程中，①以E、F為端點的線段中，哪些線段的長度發生了變化？
②在旋轉的過程中，OE與OF還相等嗎？還有以E、F為端點許且具有相等關系的線段嗎？
③在旋轉的過程中，平行四邊形被分成的兩部分的面積和周長相等嗎？能證明嗎？

Answer 1

分析 ①觀察圖形得到線段OE、OF、AE、CF、DE、BF的長度發生了變化；
②在旋轉的過程中，OE與OF相等；以E、F為端點的線段中還具有相等關系的線段有：AE=CF，DE=BF；
③利用平行四邊形的性質得OA=OC，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，則∠EAO=∠FCO，于是可證明△AEO≌△CFO，所以AE=CF，S_△AEO=S_△COF，則DE=BF，易得四邊形ABFE和四邊形CDEF的周長相等，它們的面積相等．

解答 解：①以E、F為端點的線段中，線段OE、OF、AE、CF、DE、BF的長度發生了變化；
②在旋轉的過程中，OE與OF相等；以E、F為端點的線段中還具有相等關系的線段有：AE=CF，DE=BF；
③在旋轉的過程中，平行四邊形被分成的兩部分的面積和周長相等．
證明如下：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO，
∴AE=CF，S_△AEO=S_△COF，
∴DE=BF，
∴四邊形ABFE和四邊形CDEF的周長相等，它們的面積相等．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了平行四邊形的性質．