Question

20．如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），與y軸的交點B在（0，-2）和（0，-1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b²＜-4a；④$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$；⑤b＞c．其中正確結論有①③④⑤（填寫所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析 根據對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據對稱軸得到函數圖象經過（3，0），則得②的判斷；根據圖象經過（-1，0）可得到a、b、c之間的關系，從而對②⑤作判斷；利用$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}＜-1$，可判斷③；從圖象與y軸的交點B在（0，-2）和（0，-1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．

解答 解：①∵函數開口方向向上，
∴a＞0；
∵對稱軸在y軸右側
∴ab異號，
∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正確；

②∵圖象與x軸交于點A（-1，0），對稱軸為直線x=1，
∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），
∴當x=2時，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②錯誤；

③∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象與y軸的交點在（0，-1）的下方，對稱軸在y軸右側，a＞0，
∴最小值：$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$＜-1，
∵a＞0，
∴4ac-b²＜-4a；
∴③正確；

④∵圖象與y軸的交點B在（0，-2）和（0，-1）之間，
∴-2＜c＜-1
∴-2＜-3a＜-1，
∴$\frac{2}{3}$＞a＞$\frac{1}{3}$；
故④正確

⑤∵a＞0，
∴b-c＞0，即b＞c；
故⑤正確．
綜上所述，正確的有①③④⑤，
故答案為：①③④⑤．

點評 此題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系．解題關鍵是注意掌握數形結合思想的應用．