Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為$\widehat{AB}$的中點，弦CD交AO于點E，DE=4，CE=5，則tan∠B的值為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 連接OC，過O作OH⊥CE于E，過D作DF⊥AB于F，根據垂徑定理得到CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{9}{2}$，根據相似三角形的性質得到OC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，DF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，EF=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，如何根據三角函數的定義即刻得到結論．

解答 解：連接OC，過O作OH⊥CE于E，過D作DF⊥AB于F，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{9}{2}$，
∵AB為⊙O的直徑，點C為$\widehat{AB}$的中點，
∴∠EOC=90°，
∴OC²=CH•CE=$\frac{9}{2}$×5=$\frac{45}{2}$，
∴OC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，∴OE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵DF⊥AB，OC⊥AB，
∴DF∥OC，
∴△OCE∽△DFE，
∴$\frac{OC}{DF}$=$\frac{OE}{EF}$=$\frac{CE}{DE}$，
∴DF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，EF=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴BF=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴tan∠B=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
故選D．

點評 本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．