Question

13．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連接BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，解答下列問題：
①填空：b=12；
②當BE⊥AC時，求出此時AE的長；
（2）設AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，請寫x、a、b三者的關系式．

Answer 1

分析 （1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到結果；
②只要證明△AEB∽△BAC，得 $\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，由此即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①當△ABE∽△EBC時，②當△BAE∽△CEB時，分別求解即可．

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{5}{13}$，
∴AC=13，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∴b=12；
故答案為：12；

②∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠ACB=90°
又∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠ABC=90°，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
即 $\frac{AE}{5}$=$\frac{5}{12}$，
∴AE=$\frac{25}{12}$；

（2）∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，
∴當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°，
①當△ABE∽△EBC時，∠ABE=∠EBC=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
BC=$\sqrt{2}$BE，BE=$\sqrt{2}$AB，
∴BC=2AB，即b=2a，x=a或x=$\frac{1}{2}$b．

②當△BAE∽△CEB
∴∠ABE=∠BCE，
又∵BC∥AD，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠ABE=∠DEC，
又∵∠BAE=∠EDC=90°，
∴△BAE∽△EDC，
∴$\frac{AE}{DC}$=$\frac{AB}{DE}$，
即 $\frac{x}{a}$=$\frac{a}{b-x}$，
∴x²-bx+a²=0，
即（x-$\frac{2}$）2=$\sqrt{\frac{^{2}-4{a}^{2}}{4}}$，
當b²-4a²≥0，
∵a＞0，b＞0，
∴b≥2a，
即b≥2a時，x=$\frac{b±\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}{2}$．
綜上所述：當a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時x=$\frac{1}{2}$b（或x=a）；當a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時x=$\frac{b±\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，一元二次方程根的情況，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會用分類討論思想思考問題，屬于中考壓軸題．