Question

8．某廠家計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共20件，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是生產(chǎn)數(shù)量的一次函數(shù)，如表提供了部分生產(chǎn)數(shù)據(jù)，設(shè)甲產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為x件，

生產(chǎn)數(shù)量（件）	1	2	…
甲產(chǎn)品單價（元/件）	27	24	…
乙產(chǎn)品單價（元/件）	58	56	…

（1）若甲產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為y₁（元/件），求y₁與x的關(guān)系式；
（2）若生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量不少于乙產(chǎn)品數(shù)量的$\frac{2}{3}$，乙產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于40元，求該廠家有幾種生產(chǎn)方案？
（3）若該廠家分別以80元/件和70元/件的出廠價銷售甲、乙兩種產(chǎn)品，且全部銷售完，總利潤可能達(dá)到1100元嗎？如果能，請求出生產(chǎn)方案；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出y₁與x的關(guān)系式；
（2）設(shè)乙產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為y₂（元/件），乙產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為（20-x）件，根據(jù)給定數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出y₂與x的關(guān)系式，再根據(jù)生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量不少于乙產(chǎn)品數(shù)量的$\frac{2}{3}$以及乙產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于40元，即可得出關(guān)于x一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，由此即可找出廠家的生產(chǎn)方案；
（3）設(shè)總利潤為w，根據(jù)總利潤=甲產(chǎn)品單件利潤×生產(chǎn)數(shù)量+乙產(chǎn)品單件利潤×生產(chǎn)數(shù)量即可得出w關(guān)于x的關(guān)系式，令w≥1100即可得出關(guān)于x的一元二次不等式，解之即可得出x的取值范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論即可找出廠家的生產(chǎn)方案．

解答 解：（1）設(shè)y₁與x的關(guān)系式為y₁=kx+b（k≠0），
將（1，27）、（2，24）代入y₁=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=27}\\{2k+b=24}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=30}\end{array}\right.$，
∴y₁與x的關(guān)系式為y₁=-3x+30．
（2）設(shè)乙產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為y₂（元/件），乙產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為（20-x）件，
利用待定系數(shù)法即可得出y₂=-2（20-x）+60=2x+20．
∵生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量不少于乙產(chǎn)品數(shù)量的$\frac{2}{3}$，乙產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于40元，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+20≤40}\\{x≥\frac{2}{3}（20-x）}\end{array}\right.$，
解得：8≤x≤10．
∴該廠有三種生產(chǎn)方案．方案一：生產(chǎn)8件甲產(chǎn)品，生產(chǎn)12件乙產(chǎn)品；方案二：生產(chǎn)9件甲產(chǎn)品，生產(chǎn)11件乙產(chǎn)品；方案三：生產(chǎn)10件甲產(chǎn)品，生產(chǎn)10件乙產(chǎn)品．
（3）設(shè)總利潤為w，根據(jù)題意得：w=[80-（-3x+30）]x+[70-（2x+20）]（20-x）=5x²-40x+1000，
令w=5x²-40x+1000≥1100，
解得：x≤-2或x≥10．
結(jié)合（2）可知x=10．
∴當(dāng)生產(chǎn)10件甲產(chǎn)品，生產(chǎn)10件乙產(chǎn)品時，總利潤為1100元．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一元一次不等式組的應(yīng)用以及解一元二次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于x的一元一次不等式組；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于x的一元二次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該體系題目時，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題的突破點．