Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，則△ADN的最小面積為$\frac{3}{8}$cm²．

Answer 1

分析 設BM=xcm，則MC=（1-x）cm，當AM⊥MN時，利用互余關系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據三角形的面積公式表示出△ADN的面積，用二次函數的性質求面積的最小值．

解答 解：設BM=xcm，則MC=（1-x）cm，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=∠MNC，
又∵∠B=∠C，
∴△ABM∽△MCN，則$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，即$\frac{1}{1-x}$=$\frac{x}{CN}$，
解得：CN=$\frac{x（1-x）}{1}$=x（1-x），
∴S_△ADN=S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$×1×[1-x（1-x）]=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＜0，
∴當x=$\frac{1}{2}$cm時，S_△ADN最小，最小值是$\frac{4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）^{2}}{4×\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{8}$（cm²）．
故答案是：$\frac{3}{8}$cm²．

點評 本題考查了二次函數的性質的運用．關鍵是根據已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數關系式．