Question

10．如圖，△ABC中，AB=AC，點F為AC的中點，D為BF的延長線上一點，且∠BDC=∠BAC，E為CD的延長線上一點，且AD=AE，下列結論：①AD平分∠BDE；②CD=2DF；③BF=DF+DE；④S_△ABC=2S_{四邊形AEDF}．其中結論正確的個數是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 證明A、B、C、D四點共圓，由圓周角定理和圓內接四邊形性質得出∠ADB=∠ACB，∠ADE=∠ABC，由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠ACB，證出∠ADB=∠ADE，得出①正確；證明△ABF∽△DCF，得出$\frac{CD}{DF}=\frac{AB}{AF}$=2，即可得出②正確；證出∠ADB=∠E，由AAS證明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，由BD=BF+DF，CE=CD+DE=2DF+DE，得出BF=DF+DE，③正確；作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，由角平分線的性質得出AG=AH，求出S_{四邊形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△ABF，進一步得出S_△ABC=2S_{四邊形AEDF}．④正確；即可得出結論．

解答 解：∵∠BDC=∠BAC，∴A、B、C、D四點共圓，
∴∠ADB=∠ACB，∠ADE=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADB=∠ADE，
∴AD平分∠BDE，①正確；
∵點F為AC的中點，
∴AB=AC，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠BAF=∠CDF，∠ABF=∠DCF，
∴△ABF∽△DCF，
∴$\frac{CD}{DF}=\frac{AB}{AF}$=2，
∴CD=2DF，②正確；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E，
∵∠ADB=∠ADE，
∴∠ADB=∠E，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠E}&{\;}\\{∠ABD=∠ACE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE，
∵BD=BF+DF，CE=CD+DE=2DF+DE，
∴BF+DF=2DF+DE，
∴BF=DF+DE，③正確；
作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，如圖所示：
∵AD平分∠BDE，
∴AG=AH，
∵S_{四邊形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=$\frac{1}{2}$DE•AG+$\frac{1}{2}$DF•AH=$\frac{1}{2}$AH（DE+DF）=$\frac{1}{2}$AH•BF=S_△ABF，
∵AF=CF，
∴S_△ABC=2S_△ABF，
∴S_△ABC=2S_{四邊形AEDF}．④正確；
結論正確的個數是4個，
故選：D．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、四點共圓、圓周角定理、圓內接四邊形的性質、角平分線的性質定理、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．