Question

4．閱讀下列材料：
問題：已知方程x²+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設所求方程的根為y，則y=2x，所以x=$\frac{y}{2}$，把x=$\frac{y}{2}$，代入已知方程，得（$\frac{y}{2}$）²+$\frac{y}{2}$-1=0．
化簡，得y²+2y-4=0，
故所求方程為y²+2y-4=0
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：
（1）已知方程x²+2x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為y²-2y-1=0；
（2）已知關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．

Answer 1

分析 （1）設所求方程的根為y，則y=-x，所以x=-y，代入原方程即可得；
（2）設所求方程的根為y，則y=$\frac{1}{x}$（x≠0），于是x=$\frac{1}{y}$（y≠0），代入方程ax²+bx+c=0整理即可得．

解答 解：（1）設所求方程的根為y，則y=-x，所以x=-y，
把x=-y代入方程x²+2x-1=0，得：y²-2y-1=0，
故答案為：y²-2y-1=0；

（2）設所求方程的根為y，則y=$\frac{1}{x}$（x≠0），于是x=$\frac{1}{y}$（y≠0），
把x=$\frac{1}{y}$代入方程ax²+bx+c=0，得a （$\frac{1}{y}$）²+b（$\frac{1}{y}$）+c=0，
去分母，得 a+by+cy²=0，
若c=0，有ax²+bx=0，
于是，方程ax²+bx+c=0有一個根為0，不合題意，
∴c≠0，
故所求方程為a+by+cy²=0  （ c≠0）．

點評 本題主要考查一元二次方程的解，解題的關鍵是理解方程的解的定義和解題的方法．