Question

14．如圖，以E（3，0）為圓心，5為半徑的⊙E與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，頂點為F．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（3）已知P是拋物線上位于第四象限的點，且滿足S_△ABP=S_△ABC，連接PF，判斷直線PF與⊙E的位置關系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可直接得到點A、B的坐標，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長，則得到點C的坐標；
（2）已知點A、B、C的坐標，利用交點式與待定系數法求出拋物線的解析式，由解析式得到頂點F的坐標；
（3）首先求出點P的坐標；連接EP，PF，過點P作PG⊥對稱軸EF于點G，求出PE，推出點P在⊙E上；再利用勾股定理求出PF的長度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EPF為直角三角形，∠EPF=90°，所以直線PF與⊙E相切．

解答 解：（1）∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，
∴A（-2，0），B（8，0）．
如解答圖所示，連接CE．
在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴C（0，-4）．

（2）∵點A（-2，0），B（8，0）在拋物線上，
∴可設拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-8）．
∵點C（0，-4）在拋物線上，
∴-4=a×2×-8，解得a=$\frac{1}{4}$
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$，
∴頂點F的坐標為（3，-$\frac{25}{4}$）．

（3）直線PF與⊙E相切．理由如下：
∵△ABC中，底邊AB上的高OC=4，
∴若△ABC與△ABP面積相等，則拋物線上的點P須滿足條件：|y_P|=4，
∵點P在第四象限，
∴y_p=-4，則 $\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4，
整理得：x²-6x=0，解得x=6或x=0（與點C重合，故舍去）．
∴點P的坐標為（6，-4），連接EP，PF，過點P作PG⊥對稱軸EF于點G，
則PG=3，EG=4．
在Rt△PEG中，由勾股定理得：PE=$\sqrt{E{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴點P在⊙E上．
由（2）知，頂點F的坐標（3，-$\frac{25}{4}$），
∴EF=$\frac{25}{4}$，
∴FG=EF-EG=$\frac{9}{4}$．
在Rt△PGF中，由勾股定理得：PF=$\sqrt{P{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
在△EFP中，∵EP²+PF²=5²+（ $\frac{15}{4}$）²=（ $\frac{25}{4}$）²=EF²，
∴△EFP為直角三角形，∠EPF=90°．
∵點P在⊙E上，且∠EPF=90°，
∴直線PF與⊙E相切．

點評 本題考查圓綜合題、二次函數的圖象與性質、勾股定理及其逆定理、切線的判定、解一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形，掌握利用勾股定理的逆定理證明直角的方法，屬于中考壓軸題．