Question

6．如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．
（1）填空：∠ABC=135°，AC=2$\sqrt{5}$；
（2）判斷：△ABC與△DEF是否相似，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△BCG中根據等腰直角三角形的性質求出∠GBC的度數，再根據∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度數；在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的長；
（2）根據相似三角形的判定定理，夾角相等，對應邊成比例即可證明△ABC與△DEF相似．

解答 解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△AHC中，AH=4，CH=2，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案為：135，$2\sqrt{5}$；

（2）△ABC∽△DEF．
證明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=∠DEF=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，FE=2，DE=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，$\frac{BC}{EF}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴△ABC∽△DEF．

點評 此題考查的是相似三角形的判定，解答此題的關鍵是認真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關系．