Question

14．小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足∠ADE=60°，DE交等邊△ABC外角平分線CE所在直線于點E，試探究AD與DE的數量關系．小明發現，過點D作DF∥AC，交AB于點F，通過構造全等三角形，經過推理論證，能夠得到AD與DE的數量關系．
（1）AD與DE相等嗎？請你說明理由；
【類比探究】
（2）當點D是線段BC上（不與點B，C重合）任意一點時，其它條件不變，如圖2，試猜想AD與DE之間的數量關系，并證明你的結論；
【拓展應用】
（3）當點D在BC的延長線上，且滿足CD=BC，連接AE，其它條件不變，如圖3，若AD=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）結論：AD=DE．由等邊三角形的性質和平行線的性質得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結論；
（2）結論：AD=DE．由等邊三角形的性質和平行線的性質得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結論；
（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，證出△ADE是等邊三角形，即可解決問題．

解答 解：（1）結論：AD=DE，理由如下：
如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分線，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ECD=30°，
在△AFD與△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠DCE}\\{DF=CD}\\{∠ADF=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；

（2）結論：AD=DE；理由如下：
如圖2，過點D作DF∥AC，交AB于點F，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等邊三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分線，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠ADF=∠EDC，
在△AFD≌△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠EDC}\\{AF=CD}\\{∠AFD=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；

（3）如圖3中，

∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DE=AD=6．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，平行線的性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．