Question

10．已知實數x，y滿足：x⁴+x²=3，$\frac{4}{{y}^{4}}$+$\frac{2}{{y}^{2}}$=3，則x⁴+$\frac{4}{{y}^{4}}$=7．

Answer 1

分析 把已知條件變形得到4（$\frac{1}{{y}^{2}}$）²+2•$\frac{1}{{y}^{2}}$-3=0，x⁴+x²-3=0，則x²和$\frac{1}{{y}^{2}}$可看作方程t²+t-3=0的兩根，根據根與系數的關系得到x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=-1，x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$=-3，再利用完全批發公司變形得到x⁴+$\frac{4}{{y}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）²-2x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：∵$\frac{4}{{y}^{4}}$+$\frac{2}{{y}^{2}}$=3，
∴4（$\frac{1}{{y}^{2}}$）²+2•$\frac{1}{{y}^{2}}$-3=0，
而x⁴+x²-3=0，
∴x²和$\frac{1}{{y}^{2}}$可看作方程t²+t-3=0的兩根，
∴x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=-1，x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$=-3，
∴x⁴+$\frac{4}{{y}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）²-2x²•$\frac{1}{{y}^{2}}$=1-2×（-3）=7．
故答案為7．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．