Question

20．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∠BAC的平分線AG分別交線段DE、BC于點F、G．
（1）求證：△ADF∽△ACG；
（2）聯結DG，若∠AGD=∠B，AB=12，AD=4，AE=6，求AG與AF的長．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質得到∠ADE=∠C，根據角平分線的定義得到∠DAF=∠CAG，證明結論；
（2）根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．

解答 （1）證明：∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∠BAC=∠EAD，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠C，
∵AG是∠BAC的平分線，
∴∠DAF=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵∠AGD=∠B，∠DAF=∠GAB，
∴△ADG∽△AGB，
∴$\frac{AD}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，
∴AG=$\sqrt{AD•AB}$=4$\sqrt{3}$，
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AC=$\frac{AD•AB}{AE}$=8，
∵△ADF∽△ACG，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AG}$，
∴AF=$\frac{AD•AG}{AC}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、角平分線的定義，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．