Question

18．如圖，已知點O是∠EPF的平分線上的一點，以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于點A、B和C、D．求證：
（1）∠OBA=∠OCD；
（2）AB=CD．

Answer 1

分析 （1）過點O分別作OM⊥AB，ON⊥CD，則可知OM=ON，且OB=OC，則可證得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD；
（2）根據全等三角形的性質得到BM=CN，根據垂徑定理得到AB=2BM，CD=2CN，依此即可求解．

解答 證明：（1）∠OBA=∠OCD，理由如下：
過點O分別作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為M、N
∵∠EPO=∠FPO，
∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON\\;}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），
∴∠OBA=∠OCD．
（2）∵Rt△OBM≌Rt△OCN，
∴BM=CN，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AB=2BM，CD=2CN，
∴AB=CD．

點評 本題主要考查垂徑定理，全等三角形的判定和性質，正確掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．