Question

11．如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為E，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且OA=3，BE=2．
（1）求CD的長；
（2）求BF的長．

Answer 1

分析 （1）連結OC，由題意可知OC=3，OE=1，然后在Rt△OCE中，依據勾股定理可求得CE的長，結合垂徑定理可求得CD的長；
（2）由切線的性質可知BF⊥AB，則DC∥BF，從而可證明△AED∽△ABF，從而可求得BF的長．

解答 解：（1）連結OC．

∵⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為E，
∴CE=ED．
∵OA=3，BE=2，
∴OC=3，OE=1，
∴CE=2$\sqrt{2}$．
∴CD=4$\sqrt{2}$．
（2）∵BF為⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∵CD⊥AB，
∴DC∥BF，
∴△AED∽△ABF，
∴$\frac{ED}{BF}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{BF}$=$\frac{4}{6}$，
∴BF=3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質、垂徑定理、勾股定理的應用，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．