Question

19．已知方程x²-（k+1）x-6=0是關于x的一元二次方程．
（1）求證：對于任意實數k，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的一個根是2，求k的值及方程的另一個根．

Answer 1

分析 （1）通過計算判別式的值得到△=（k+1）2+24＞0，從而可判斷方程根的情況；
（2）設方程的另一個根為t，根據根與系數的關系得到2+t=k+1，2t=-6，然后解方程組即可得到k和t的值．

解答 （1）證明∵△=（k+1）²-4×（-6）
=（k+1）2+24＞0，
∴對于任意實數k，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：設方程的另一個根為t，
根據題意得2+t=k+1，2t=-6，
所以t=-3，則2-3=k+1，解得k=-2，
所以k的值為-2，方程的另一個根，為-3．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．