Question

14．理解計算：如圖①，∠AOB=90°，∠AOC為∠AOB外的一個角，且∠AOC=30°，射線OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度數；
拓展探究：如圖②，∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β為銳角），射線OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度數；
遷移應用：其實線段的計算與角的計算存在著緊密的聯系，如圖③線段AB=m，延長線段AB到C，使得BC=n，點M，N分別為AC，BC的中點，則MN的長為$\frac{1}{2}$m（直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）根據角的平行線的特點，可以得知所分兩角相等，等于原角的一半，根據角與角之間的數量關系即可得出結論；
（2）根據角的平行線的特點，可以得知所分兩角相等，等于原角的一半，根據角與角之間的數量關系即可得出結論；
（3）根據（2）的原理，可直接得出結論．

解答 解：（1）∵∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+30°=120°，
射線OM平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°．
（2）∵∠BOC=∠AOB+∠AOC=α+β，
∵射線OM平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠COM-∠CON=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α．
（3）∵AB=m，BC=n，
∴AC=AB+BC=m+n，
∵點M，N分別為AC，BC的中點，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（m+n），CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$n，
∴MN=CM-CN=$\frac{1}{2}$m．
故答案為：$\frac{1}{2}$m．

點評 本題考查的是角的計算，解題的關鍵是明白角平分線的特點，根據此特點結合角與角間的數量關系即可得出結論．