Question

4．已知BD平分∠ABF，且交AE于點D．
（1）求作：∠BAE的平分線AP（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）設(shè)AP交BD于點O，交BF于點C，當(dāng)AC⊥BD時，AD與BC的位置和數(shù)量關(guān)系是平行且相等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的作法作出∠BAE的平分線AP即可；
（2）根據(jù)ASA證明△ABO≌△CBO，得出AO=CO，AB=CB，再根據(jù)ASA證明△ABO≌△ADO，得出BO=DO．由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形及有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明四邊形ABCD是菱形即可得．

解答 解：（1）如圖所示：


（2）在△ABO和△CBO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CBO}\\{OB=OB}\\{∠AOB=∠COB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴AO=CO，AB=CB．
在△ABO和△ADO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠OAD}\\{OA=OA}\\{∠AOB=∠AOD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ADO（ASA），
∴BO=DO．
∵AO=CO，BO=DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=CB，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴AD與BC的位置和數(shù)量關(guān)系是：平行且相等，
故答案為：平行且相等．

點評 此題主要考查了角平分線的作法以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．