Question

12．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙O于點E，F(xiàn)，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意可確定OD是△ABC的中位線，設(shè)AD=x，然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：連接OB，
∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠POA=∠POB}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直線PA為⊙O的切線；
（2）解：∵OA=OC，AD=DB，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=3，
設(shè)AD=x，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴FD=2x，則OA=OF=2x-3，
在Rt△AOD中，OA²=OD²+AD²，即（2x-3）²=3²+x²，
解得，x=4，
則AD=4，AB=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10．

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．