Question

4．如圖，已知△ABC．
（1）按下列步驟用直尺和圓規作圖
①作線段BC的垂直平分線，與線段AC交于點E；②作射線BE；③作∠DCB=∠ABC，與射線BE交于點D．
（2）求證△DCB≌△ABC．

Answer 1

分析 （1）①根據線段垂直平分線的作法進行作圖即可；②連接BE并延長，即可得到射線BE；③在點C處作∠DCB=∠ABC，與射線BE交于點D；
（2）根據點E在BC的垂直平分線上，可得EC=EB，進而得到∠EBC=∠ECB，再根據ASA判定△DCB≌△ABC即可．

解答 解：（1）①如圖所示，直線MN即為所求；
②如圖所示，射線BE即為所求；
③如圖所示，∠DCB即為所求；


（2）∵點E在BC的垂直平分線上，
∴EC=EB，
∴∠EBC=∠ECB，
在△DCB和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ECB}\\{BC=CB}\\{∠DCB=∠ABC}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△ABC（ASA）．

點評 本題主要考查了復雜作圖，線段垂直平分線的性質以及全等三角形的判定，解決問題的關鍵是掌握：線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．解題時注意：兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．