Question

7．已知關于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根恰好是一個矩形兩鄰邊的長，且k=4，求該矩形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用根的判別式，確定k的范圍．
（2）把k=4代入原方程，利用根與系數的關系，求出矩形的面積．

解答 解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac＞0，
即[-（k+1）]²-4×$（\frac{1}{4}{k}^{2}+1）$＞0，
解得k＞$\frac{3}{2}$
即當k＞$\frac{3}{2}$時，方程有兩個不相等的實數根．
（2）當k=4時，原方程為：x²-5x+5=0，
若該方程的兩根為x₁，x₂，由根與系數的關系，得x₁•x₂=5
因為方程的兩根恰好是一個矩形的兩鄰邊的長，
所以該矩形的面積=x₁•x₂=5．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式及跟與系數的關系．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系為：x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．