Question

17．如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB'C'D'位置，此時(shí)AC'的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB'交CD于點(diǎn)E，若AD=3，則△AEC的面積為（　　）

• A． 12
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進(jìn)而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對(duì)等邊得到AE=CE，根據(jù)正切的概念求出CD，確定出EC的長，即可求出三角形AEC面積．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=AC'，
∵D為AC'的中點(diǎn)，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$CE，
∴CE=2DE，
CD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，
∴EC=2$\sqrt{3}$，
∴△AEC的面積=$\frac{1}{2}$×EC×AD=3$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)，三角形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，清楚旋轉(zhuǎn)的“不變”特性是解答的關(guān)鍵．