Question

2．線段BD上有一點C，分別以BC、CD為邊作等邊△ABC和等邊△ECD，連接BE交AC于M，連接AD交CE于N，連接MN
（1）求證：∠1=∠2
（2）求證：△CMN是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，推出∠ACD=∠BCE，證得△ACD≌△BCE（SAS），根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）由于∠ACB=∠DCE=60°，得到∠ACN=60°，求得∠ACN=∠BCM=60°，證得△ACN≌△BCM，得到CN=CM，由∠ACN=60°，于是得到結論．

解答 解：（1）∵△ABC和等邊△ECD是等邊三角形
∴∠ACBB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCD}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD與△BCE（SAS），
∴∠1=∠2；

（2）∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACN=60°，
∴∠ACN=∠BCM=60°，
在△ACN和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠BCM}\\{AC=BC}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM，
∴CN=CM，
∵∠MCN=180°-∠MCB-∠NCD=180°-60°-60°=60°，
∵CM=CN；
∴△CMN是等邊三角形，

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質和判定，證得△ACD與△BCE是解題的關鍵．