Question

14．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC上一點，EG⊥AF于H，交CD于點G，求證：BE+BF=CG．

Answer 1

分析 過點E作EM⊥DC于點M，由正方形的性質和已知條件易證四邊形EBCM是矩形，△ABE≌△EMG，進而可得到BE=CM，再由相等線段的代替即可證明BE+BF=CG．

解答 證明：
過點E作EM⊥DC于點M，則四邊形EBCM是矩形，
∴BE=CM，BC=EM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠EMG=90°，AB=BC，
∵EG⊥AF于H，
∴∠GEM+∠EHA=90°，∠BAF+∠EHA=90°，
∴∠EAH=∠GEM．
在△ABE和△EMG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GEM}\\{AB=EM}\\{∠B=∠EMG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EMG（ASA），
∴BF=GM，
∴CG=CM+GM=BE+BF．

點評 本題考查了正方形的性質、矩形的判斷和性質、全等三角形的判斷和性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是證題的關鍵．