Question

1．如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是（1）（2）（3）．
（1）EF=$\sqrt{2}$OE；（2）S_{四邊形OEBF}：S_{正方形ABCD}=1：4；（3）BE+BF=$\sqrt{2}$OA；（4）在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可證得結論；
（2）由（1）易證得S_{四邊形OEBF}=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，則可證得結論；
（3）由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性質，證得BE+BF=$\sqrt{2}$OA；
（4）首先設AE=x，則BE=CF=1-x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數的最值問題，求得答案；

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF=$\sqrt{2}$OE；故正確；

（2）∵S_{四邊形OEBF}=S_△BOE+S_△BOE=S_△BOE+S_△COF=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
∴S_{四邊形OEBF}：S_{正方形ABCD}=1：4；故正確；

（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=$\sqrt{2}$OA；故正確；

（4）過點O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
設AE=x，則BE=CF=1-x，BF=x，
∴S_△BEF+S_△COF=$\frac{1}{2}$BE•BF+$\frac{1}{2}$CF•OH=$\frac{1}{2}$x（1-x）+$\frac{1}{2}$（1-x）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{32}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當x=$\frac{1}{4}$時，S_△BEF+S_△COF最大；
即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=$\frac{1}{4}$；故錯誤；
故答案為（1）（2）（3）．

點評 本題考查四邊形的綜合題、正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理以及二次函數的最值問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會正確尋找全等三角形解決問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．