Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=4，DC=5，AB=8．如果點P由B點出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點Q由A點出發沿AB方向向點B勻速運動，它們的速度均為每秒1個單位長度．當P點到達C點時，兩點同時停止運動，連接PQ．設運動時間為t秒，當△PQB為等腰三角形時，t的值為$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$或4．

Answer 1

分析 根據等腰三角形的性質和余弦公式列出等式求解，即可求的結論．

解答 解：如圖1，作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四邊形AECD是矩形，
∴AE=CD=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
cos∠B=$\frac{3}{5}$，
①當PQ=PB時（如圖2所示），則BG=$\frac{1}{2}$BQ，$\frac{BG}{PB}$=$\frac{\frac{1}{2}（8-t）}{t}$=$\frac{3}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{11}$s，
②當PQ=BQ時（如圖3所示），則BG=$\frac{1}{2}$PB，$\frac{BG}{BQ}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{8-t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{48}{11}$s，
③當BP=BQ時（如圖4所示），則8-t=t，
解得：t=4．
綜上所述：當t=$\frac{40}{11}$s，$\frac{48}{11}$s或t=4s時，△PQB為等腰三角形．

故答案為：$\frac{40}{11}$、$\frac{48}{11}$或4．

點評 本題主要考查了勾股定以及等腰三角形的性質，能根據已知條件把所需線段用含t的代數式表示來，靈活用用三角形的性質和判定是解決問題的關鍵，要注意分類思想、方程思想的應用．