Question

18．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，G是△ABC的重心，連接AG，BG，CG
（1）當直角邊AC的長度變化時，線段AG，BG，CG的長度是否隨之變化？若有不變的，求出其中長度不變的線段的長；
（2）設AC=x，AG=y，求y關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）△ACG是否能成為等腰三角形？若能，求出此時AC的長；若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據重心的特點，即可得出結論；
（2）利用重心特點，列出邊與邊的關系，結合勾股定理即可解決；
（3）假設成立，利用分類的方法分別討論，可得出結論．

解答 解：（1）由三角形重心的特點可知，
G為三角形三條中位線的交點，且有CG=2GE，CG=$\frac{2}{3}$CE，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CG=2，
而隨著直角邊AC的長度變化時，線段AG，BG都會變化，
∴當直角邊AC的長度變化時只有CG不變，且CG=2．
（2）延長AG交BC于點D，作圖如下：

AC=x，AB=6，且∠ACB=90°，
由勾股定理，得BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
∵G是△ABC的重心，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
由勾股定理，得AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{36-{x}^{2}}{4}}$，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{x}^{2}+\frac{36-{x}^{2}}{4}}$=y，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴0＜x＜6，
故y=$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$（0＜x＜6）．
（3）假設△ACG能成為等腰三角形，
①當AC=AG時，有$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$=x，即x²=6，
解得，此時x=$\sqrt{6}$．
②當AC=CG時，
∵CG=2，0＜x＜6，
此時x=2．
③當AG=CG時，有$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+4}$=2，即x²=0，
不符合，舍去．
綜上，當AC長為2或者$\sqrt{6}$時，△ACG是等腰三角形．

點評 本題考查了三角形重心的特點，解題的關鍵是用好重心特點中邊與邊的關系．