Question

8．如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x-2）²+k經過點A、B．求：
（1）點A、B的坐標；
（2）拋物線的函數表達式；
（3）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+BM的最小值及點M的坐標；
（4）在拋物線對稱軸上是否存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入直線的解析式可求得點B的坐標，將y=0代入直線的解析式可求得點A的坐標；
（2）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式得到關于a、k的方程組，求得a、k的值，從而可求得拋物線的解析式；
（3）先求得拋物線的對稱軸方程，從而可求得點C的坐標，由軸對稱圖形的性質可知AM+BM=BM+MC，當點B、M、C在一條直線上時，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的長，從而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，從而得到點M的坐標；
（4）設點P的坐標為（2，m），然后分為AP=PB，AP=AB，BA=BP三種情況列方程求解即可．

解答 解：（1）∵將x=0代入直線的解析式得：y=3，
∴點B的坐標為（0，3）．
∵將y=0代入直線的解析式得：-3x+3=0，解得：x=1．
∴點A的坐標為（1，0）．
（2）將A（1，0）、B（0，3）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=1}\\{4a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：a=1，k=-1．
拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（3）如圖所示：連接BC交拋物線的對稱軸于點M，連接AM．

∵由題意可知拋物線的對稱軸為x=2，
∴點C的坐標為（3，0）．
∵點A與點M關于x=2對稱，
∴AN=MC．
∴AM+BM=BM+MC．
∵當點B、M、C在一條直線上時，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值為BC的長．
∴AM+BM的最小值=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵MD∥OB，
∴△CDM∽△COB．
∴$\frac{DC}{OC}=\frac{MD}{OB}$，即$\frac{1}{3}=\frac{MD}{3}$．
解得：MD=1．
∴M（2，1）．
（4）設點P的坐標為（2，m）．
①當PA=PB時，由兩點間的距離公式可知：（2-1）²+（m-0）²=（2-0）²+（m-3）²．
整理得：6m=12．
解得：m=2．
點P的坐標為（2，2）．
②當AP=AB時，由兩點間的距離公式可知：（2-1）²+（m-0）²=（1-0）²+（0-3）²．
整理得：m²=9．
解得：m=3或m=-3（舍去）．
點P的坐標為（2，3）．
③當BA=BP時，由兩點間的距離公式可知：（1-0）²+（0-3）²=（2-0）²+（m-3）²．
整理得：（m-3）²=6．
解得：m=3+$\sqrt{6}$或m=3-$\sqrt{6}$．
點P的坐標為（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）．
綜上所述，點P的坐標為（2，2）或（2，3）或（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題需要熟練掌握待定系數法求二次函數的解析式，相似三角形的性質和判定、兩點間的距離公式、軸對稱圖形的性質，分為AP=PB，AP=AB，BA=BP三種情況列出關于m的方程是解題的關鍵．