Question

8．求證：N=5×3²ⁿ⁺¹×2ⁿ-3ⁿ×6ⁿ⁺²能被14整除．（N為正整數）

Answer 1

分析 先逆用同底數冪的乘法運算性質將3²ⁿ⁺¹與6ⁿ⁺²分別變形為3²ⁿ•3及6ⁿ•6²，再逆用冪的乘方與積的乘方運算性質得出3²ⁿ•2ⁿ=（3²）ⁿ•2ⁿ=9ⁿ•2ⁿ=18ⁿ，3ⁿ•6ⁿ=（3×6）ⁿ=18ⁿ，然后合并同類項得出原式為-21•18ⁿ，進一步整理從而判定5•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被14整除．

解答 證明：5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．理由如下：
∵5•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²
=5•（3²ⁿ•3）•2ⁿ-3ⁿ•（6ⁿ•6²）
=15•3²ⁿ•2ⁿ-36•3ⁿ•6ⁿ
=15•18ⁿ-36•18ⁿ
=-21•18ⁿ
=-14×3•2^n-1•9ⁿ，
又∵3•2^n-1•9ⁿ是整數，
∴5•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被14整除．

點評 本題考查了因式分解的實際運用，同底數冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，單項式的乘法，合并同類項等知識，難度適中，熟練掌握運算性質與法則是解題的關鍵．