Question

3．如圖，拋物線y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點M，P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上），分別過點A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E，連接點MD、ME．
（1）求點A、B的坐標．
（2）△MDE能否是以∠DME為直角的等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標；若不能，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，設直線PC交x軸于點F，第一象限內是否存在點Q，使△OCF與△PFQ相似，且相似比為4：3？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）拋物線y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4與x軸相交于點A、B，可以求得點A、B的坐標；
（2）先判斷，然后畫出合適的圖形，從而可以求得點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，根據題目要求可知符合要求的有三種情況，從而可以得到點Q的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，
∴當y=0時，0=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4，得x₁=1，x₂=5，
當x=0時，y=-4，
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（5，0），點C的坐標為（0，-4），
即點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（5，0）；
（2）△MDE能以∠DME為直角的等腰直角三角形，
設△MDE為等腰直角三角形，設PC與對稱軸交于N，如下圖一所示，

由已知可得，MD=ME，∠DMA=∠EMN，AD⊥CP，
∴∠ADM=∠NEM=135°，
在△AMD和△NME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMA=∠EMA}\\{MD=ME}\\{∠ADM=∠NEM}\end{array}\right.$
∴△AMD≌△NME（ASA）
∴AM=MN，
∵拋物線y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4的對稱軸為直線x=$-\frac{\frac{24}{5}}{2×（-\frac{4}{5}）}=3$，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（5，0），
∴AM=3-1=2，
∴MN=3，
∴點N的坐標是（3，2），
設過點C（0，-4），點N（3，2）的直線的解析式為：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$
解得，k=2，b=4，
即直線PC的解析式y=2x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=-\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}x-4\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\ y=3\end{array}\right.$
∵點P位于第一象限，
∴點P的坐標為$（{\frac{7}{2}，3}）$；
（3）Q₁（2，3），Q₂$（{\frac{22}{5}，\frac{9}{5}}）$，Q₃（$\frac{11}{10}，\frac{6}{5}$）；
如下圖所示，直線PC交x軸于點F，分三種情況，

當FQ₁∥CO時，由已知可得，△OCF與△PFQ相似，且相似比為4：3，直線PC的解析式y=2x-4與x軸交與點F的坐標為（2，0），
∴$\frac{F{Q}_{1}}{OC}=\frac{3}{4}$，解得，FQ₁=3，
∴Q₁的坐標是（2，3），
當∠PDQ₂=∠FCO或∠DPQ₃=∠DCO時，
設點Q的坐標為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-0）^{2}}：2=3：4}\\{\sqrt{（x-\frac{7}{2}）^{2}+（y-3）^{3}}：4=3：4}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{22}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{9}{5}}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{11}{10}}\\{{y}_{3}=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$
∴Q₂的坐標是（$\frac{22}{5}，\frac{9}{5}$），Q₃的坐標是（$\frac{11}{10}，\frac{6}{5}$），
由上可得，點Q的坐標是）Q₁（2，3），Q₂$（{\frac{22}{5}，\frac{9}{5}}）$，Q₃（$\frac{11}{10}，\frac{6}{5}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、等腰直角三角形的性質、三角形的相似，解題的關鍵是明確題意，知道拋物線與x軸、y軸相交的特點，與x軸相交時縱坐標等于0，與y軸相交時橫坐標0，運用數形結合和分類討論的數學思想解答問題．