Question

18．如圖，將邊長為2$\sqrt{3}$的正方形ABCD繞點A逆時針方向旋轉30°后得到正方形A′B′C′D′，則圖中陰影部分面積為12-4$\sqrt{3}$平方單位．

Answer 1

分析 由旋轉角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°-30°=60°；設B′C′和CD的交點是O，連接OA，構造全等三角形，用S_陰影部分=S_正方形-S_{四邊形AB′OD}，計算面積即可．

解答 解：如圖，

設B′C′和CD的交點是O，連接OA，
∵在Rt△ADO和Rt△AB′O中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB′}\\{AO=AO}\end{array}\right.$AD=AB′，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O，
∴∠OAD=∠OAB′=30°，
∵AD=2$\sqrt{3}$，tan∠OAD=$\frac{OD}{AD}$，
∴OD=OB′=2，
S_{四邊形AB′OD}=2S_△AOD=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$，
∴S_陰影部分=S_正方形-S_{四邊形AB′OD}=12-4$\sqrt{3}$．
故答案為：12-4$\sqrt{3}$．

點評 此題考查旋轉的性質，正方形的性質，三角形全等的判定，特殊角的三角函數，掌握的性質：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變是解決問題的關鍵．