Question

10．已知拋物線y=-x²-2x+a（a≠0）與y軸相交于A點，頂點為M，直線y=$\frac{1}{2}x-a$分別與x軸、y軸相交于B、C兩點，并且與直線MA相交于N點．
（1）若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示交點M、A的坐標．
（2）將△NAC沿著y軸翻轉，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于點D，連接CD，求a的值及△PCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據題意聯立拋物線和直線的解析式，化為一元二次方程，運用△＞0即可求出a的取值范圍和交點的坐標；
（2）根據軸對稱性質表示出點P的坐標并代入拋物線，求出a的值，用△ACP的面積減去△ADC的面積即可求出△PCD的面積．

解答 解：（1）由題意聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，
整理得：2x²+5x-4a=0，
由△=25+32a＞0，解得：$a＞-\frac{25}{32}$，
∵a≠0，
∴$a＞-\frac{25}{32}$ 且a≠0，
當x=0時，y=a，
∴A（0，a），
∵y=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1，
∴M（-1，a+1）．
（2）設直線MA為：y=kx+b，代入A（0，a），M（-1，a+1）得，$\left\{\begin{array}{l}{a+1=-k+b}\\{a=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=a}\end{array}\right.$，
所以直線MA為y=-x+a，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4a}{3}}\\{y=-\frac{a}{3}}\end{array}\right.$，
所以：N（$\frac{4a}{3}$，$-\frac{a}{3}$），
∵點P是N關于y軸的對稱點，
∴P（-$\frac{4a}{3}$，$-\frac{a}{3}$），
代入y=-x²-2x+a，得$-\frac{a}{3}=-\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{8}{3}a+a$，
解得：a=$\frac{9}{4}$，或a=0（舍去），
∴拋物線為y=-x²-2x+$\frac{9}{4}$，直線BC為y=$\frac{1}{2}x-a$-$\frac{9}{4}$，
當x=0時，y=-$\frac{9}{4}$，
∴C（0，-$\frac{9}{4}$），
A（0，$\frac{9}{4}$），M（-1，$\frac{13}{4}$），
∴|AC|=$\frac{9}{2}$，
∴S_△PCD=S_△PAC-S_△DAC=$\frac{1}{2}$|AC|×|x_p|-$\frac{1}{2}$|AC|×|x_D|
=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×1=$\frac{9}{2}$．

點評 此題主要考查二次函數的綜合問題，會運用待定系數法求函數解析式，會求函數圖象的交點和三角形的面積是解題的關鍵．