Question

1．如圖（1），已知拋物線y=x²-2x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（-1，0）．
（1）求點D的坐標；
（2）若M為直線BC下方拋物線上一動點，當△MCB面積最大時，求點M的坐標，并求出面積的最大值；
（3）如圖（2），連接AC、BD并延長交于點E，求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）首先將A點代入，進而求出函數解析式進而利用配方法求出頂點坐標；
（2）首先設M（m，m²-2m-3），G（m，m-3），則GM=m-3-m²+2m+3=-m²+3m，再利用S_△BCM=$\frac{1}{2}$GM（BN+ON）=$\frac{1}{2}$GM•OB求出答案；
（3）首先得出△AOC∽△DCB，進而得出∠E=∠OCB=45°，則tan∠E=1．

解答 解：（1）將（-1，0）代入y=x²-2x+c，
則1+2+c=0，解得：c=-3，
∴y=x²-2x-3                                        
=x²-2x+1-4
=（x-1）²-4
∴D（1，-4）；
（2）令y=0，則x²-2x-3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∴B（3，0），C（0，3），
∴y_BC=x-3，
如圖（1），過M作NM⊥x軸交AB于N，交BC于G

設M（m，m²-2m-3），G（m，m-3），
∴GM=m-3-m²+2m+3
=-m²+3m
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$GM（BN+ON）=$\frac{1}{2}$GM•OB
=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3
=-$\frac{3}{2}$（m²-3m+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
當m=$\frac{3}{2}$時，m²-2m-3=$\frac{9}{4}$-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$
∴G（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），面積最大值是$\frac{27}{8}$；

（3）如圖（2），連接CD，過D作DG⊥x軸于G，DF⊥y軸于F，
由C（0，-3），B（3，0），D（1，-4），有
CF=FD=1，OC=OB=3，
∴∠OCB=∠FCD=45°，
∴∠BCD=∠AOC=90°，
∵$\frac{AO}{OC}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴△AOC∽△DCB，
∴∠ACO=∠CBD，
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠E，
∴∠E=∠OCB=45°，
∴tan∠E=1．

點評 此題主要考查了配方法求二次函數頂點坐標以及三角形面積求法和相似三角形的判定與性質等知識，正確表示出△BCM的面積是解題關鍵．